Родился 27 ноября 1940 года в Орске, в семье актёров.

Играть на театральной сцене начал в детстве.

В 1961-1966 годах – студент режиссёрского факультета ГИТИСа, курс народного артиста СССР Андрея Александровича Гончарова.

В 1966 году в Горьковском театре драмы имени Максима Горького поставил дипломный спектакль по повести Сергея Антонова «Разорванный рубль».

В 1966-1967 годах – главный режиссёр Саратовского цирка.

В 1967-1969 годах – режиссёр Бакинского русского драматического театра.

В 1969-1983 годах – главный режиссёр Воронежского академического театра драмы имени Алексея Кольцова. В 28 лет Глеб Дроздов стал самым молодым главным режиссёром в театрах СССР. Заведовал кафедрой актёрского мастерства в Воронежском институте искусств.

В 1974 году – лауреат Государственной премии РСФСР имени К.С. Станиславского за пьесу (совместно с Эдуардом Пашневым) и постановку спектакля «Хроника одного дня» в Воронежском театре драмы имени Алексея Кольцова.

В 1982 году присвоено почётное звание «Народный артист РСФСР».

В 1983-1988 годах – главный режиссёр Ярославского академического театра драмы имени Фёдора Волкова, преподаёт актёрское мастерство в Ярославском театральном училище.

В 1988 году создал и возглавил как художественный руководитель первый в СССР контрактный театр – Тольяттинский государственный экспериментальный театр «Колесо».

Как режиссёр поставил 91 спектакль, из них – 37 в театре «Колесо».

В декабре 1989 года избран председатель правления созданной в Тольятти Ассоциации «Движение за культуру».

В 1990-1994 годах – руководитель курса студии ГИТИСа при театре «Колесо», с 1994 года – заведующий кафедрой актёрского мастерства Волжского университета имени Василия Татищева.

За особые заслуги перед городским сообществом решением Тольяттинской городской Думы от 19 мая 1999 года №533 присвоено звание «Почётный гражданин города Тольятти».

Умер 16 декабря 2000 года.

В мае 2001 года театру «Колесо» присвоено имя народного артиста России Глеба Дроздова.

Супруга - народная артистка России Наталья Дроздова.

Сын - Ярослав Дроздов, с 2021 года актёр театра «Колесо».